COORDONATE GEOGRAFICE ALE PAMANTULUI

COORDONATE GEOGRAFICE ALE PAMANTULUI

Globul pamantesc este un corp ceresc de formă elipsoidală in rotaţie.
Forma Pământului nu este perfect sferică; principala abatere de la sfericitate este dată de turtirea la poli. Pentru a lua în calcul aceasta, un model matematic mai corect pentru forma Pământului este acela al unui elipsoid de revoluţie.
Pentru un elipsoid însă, tangenta la suprafaţa sa nu coincide cu direcţia spre centrul de simetrie. Aceasta implică o problemă geografică în ceea ce priveşte determinarea latitudinilor, problemă ce se răsfrânge asupra calculelor astronomice. Ea se datorează abaterii verticalei locului faţă de direcţia spre centrul Pământului.
Turtirea globului este mică, de aceea in calculele de navigaţie globul se consideră sferic (unde nu se cere o foarte mare precizie).
Globul pămantesc are o formă complexă determinată de existenţa munţilor si văilor. Această formă se numeste geoid si se apropie de aceea a unui elipsoid obţinut prin rotirea unei elipse in jurul axei mici.
Dimensiunile pămantului sunt următoarele:
- semiaxa mare = 6378,245 km
- semiaxa mică = 6356,86 km
- turtirea = (a-b)/b = 1/299
- volumul = 1082841315400 km3
- suprafaţa = 510100800 Km2 din care 29,4 % il reprezintă uscatul.
Pentru precizarea poziţiilor aştrilor pe sfera cerească sunt folosite mai multe sisteme de coordonate, în funcţie de modalităţile practice de determinare şi de scopul propus. Astfel, pentru determinarea poziţiilor obiectelor a căror traiectorie este legată de Pământ (ca de exemplu sateliţi arificiali ai Pământului, navete spaţiale, etc.) este util să raportăm poziţia acestora la planul orizontului, utilizându-se astfel coordonatele orizontale. Pentru stabilirea poziţiilor stelelor "fixe" însă, coordonate orizontale nu sunt utile, ele modificându-se continuu datorită mişcării diurne aparente; de aceea este de preferat sistemul coordonatelor ecuatoriale care precizează direcţiile fată de planul ecuatorului ceresc, astfel coordonatele stelelor fiind constante dincolo de o serie de efecte fine care se manifestă pe o perioadă relativ lungă de timp (ca mişcarea de precesie, aberaţie, mişcarea proprie a stelelor, etc.). Pentru calcularea poziţiilor obiectelor din sistemul solar (Soarele, planetele, sateliţii acestora, comete, etc.) este convenabilă raportarea la planul eclipticii, care este planul orbitei Pământului în mişcarea de revoluţie în jurul Soarelui, marea majoritate a planetelor având planul orbitelor lor foarte apropiat de acesta; astfel se va folosi sistemul coordonatelor ecliptice. În sfârşit, dacă suntem interesaţi de studiul structurii şi a dinamicii Galaxiei noastre vom folosi sistemul coordonatelor galactice care are ca plan fundamental planul median al galaxiei.
Aşa cum am precizat mai sus, utilizarea unui anumit sistem de coordonate este legată şi de posibilitatea practică de măsurare a coordonatelor unui astru, de montura sistemului optic care poate fi poziţionat pe direcţia astrului considerat. Astfel, cele mai des întâlnite monturi sunt cea orizontală care permite stabilirea coordonatelor orizontale şi cea ecuatorială care permite determinarea coordonatelor orare.
De aceea, problema transformării poziţiei unui obiect cosmic dintr-un sistem de coordonate cereşti în altul este operaţia matematică elementară a astronomiei practice.
În lucrarea de faţă vom determina formulele de trecere de la sistemul coordonatelor orizontale la sistemul coordonatelor orare, apoi la cele ecuatoriale, şi în final la cele ecliptice şi de asemenea operaţiile de transformare inversă coordonate ecliptice --> ecuatoriale --> orare --> orizontale.
Toate sistemele de coordonate considerate au aceeaşi origine: observatorul. De aceea, transformările de coordonate se reduc din punct de vedere geometric la aplicarea unei serii de rotaţii plane. Acestea, la rândul lor, pot fi exprimate mai comod prin intermediul formulelor lui Gauss aplicate la rezolvarea unor triunghiuri de pe sfera cerească.
Principalele sistemele de coordonate folosite în astronomie (orizontale, ecuatoriale, ecliptice, galactice) au acelaşi reper - observatorul. O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotaţii în jurul axelor de coordonate carteziene. Dar, după cum am arătat, formulele care determină rotaţia în sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss în trigonometria sferică. Astfel, determinarea direcţiilor de observare a corpurilor cereşti în diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească, folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi, fie formulele lui Gauss pentru unghiuri.
Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanţele pînă la obiectele cereşti (Soarele, Luna, planetele, stelele, etc.), acestea par a se afla la aceeaşi distanţă de fiecare persoană care le observă; bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cereşti.
Pentru scopuri practice imediate (orientare, determinarea timpului, etc.) este necesară cunoaşterea direcţiei de vizare a unui astru, distanţa pînă la acesta fiind irelevantă. În plus, cea mai evidentă mişcare a aştrilor, mişcarea diurnă aparentă` este o mişcare de rotaţie omogenă faţă de observator (mişcare datorată rotaţiei Pământului), susţinând aparenţa cerului sferic.
Din punct de vedere matematic, în măsura în care nu suntem interesaţi de distanţele reale până la aştri, vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator. În acest caz, putem construi o sferă de rază arbitrară şi putem echivala în mod trivial "direcţiile" din spaţiul tridimensional cu "punctele" acestei sfere. Astfel, formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică.
În cadrul acestei geometrii, "dreptele" sunt înlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei. Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice. Pentru aceasta, vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, formulele lui Gauss, acesta fiind principalul rezultat al acestei lecţii. Aceste formule corespund într-o anumită măsură relaţiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului.
Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au atribuit 360°.
Reţeaua liniilor meridianelor şi latitudinilor care se intesectează sub un unghi de 90°, este un sistem imaginar care împarte suprafaţa globulului, cu scopul uşurării orientării. Ecuatorul aparţine liniilor de latidudine fiind linia cea mai lungă ce împarte globul în două emisfere de nord şi sud care sunt aşezate perpendicular (90°) pe raza globului terestru, ecuatorul fiind linia care delimitează latitudinea nordică de cea sudică.
Meridianele întersectează liniile de latitudine sub un unghi de 90° şi unesc cei doi poli ai pământului. Meridianul care trece prin obsevatorul astronomic din localitatea Greenwich (Marea Britanie) este considerat meridianul zero, de aici se consideră longitudinea estică sau vestică în funcţie de poziţia meridianului faţă de meridianul zero şi prelungirea acestui meridian (meridianul de 180°). Până la începutul secolului XX, „meridianul 0” nu era considerat acelaşi punct, de exemplu un astfel de punct prin care trecea meridianul 0 era El Hierro cu denumirea veche Ferro situat pe insulele Canare, sau Parisul era considerat la fel punctul prin care trecea în trecut meridianul 0. Azi fiind acceptat pe plan internaţional faptul că meridianul 0 trece prin Greenwich o localitate lângă Londra, pământul fiind considerat de formă sferică mai precis de forma unui geoid.
Axe, poli
Axa in jurul căreia se roteste Pământul (o rotaţie la 24 de ore) se numeste axa de rotaţie sau axa terestră. Aceasta intersectează planeta in 2 puncte – polii terestrii sau polii geografici (nord – sud).
Locul din care miscarea pămantului apare inversă acelor de ceasornic se numeste Polul nord. Opus lui este Polul sud.
Cercul mare, cercul mic
Intersecţia suprafeţei pămantului cu un plan perpendicular pe axa terestră si care trece prin centrul pămantului este un cerc mare. Un cerc de pe suprafaţa unei sfere se numeşte cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei. (Observaţie: Un cerc de pe suprafaţa unei sfere este un cerc mare dacă şi numai dacă planul determinat de el conţine centrul sferei.
Circumferinţa acestui cerc mare se numeste ecuator.
Orice fel de cerc obţinut prin intersecţia pămantului cu un plan ce nu trece prin centrul acestuia se numeste Cerc mic.
Cercul mare care se obţine prin intersecţia unui plan care conţine si axa terestră se numeste Cerc meridian. Semicercul mare ce trece prin punctul sau localitatea intersectată se numeste meridian geografic iar semicercul mare opus acestuia se numeste antimeridian.
La originea unor masurători in navigaţia aeriană se foloseste Meridianul "0" (Meridianul
Greenwich).
Planurile paralele cu Ecuatorul determină pe suprafaţa globului cercuri mai mici numite –
paralele terestre.
Cercurile mici de pe suprafaţa terestră paralele cu ecuatorul poartă denumirea de cercuri
paralele sau Paralele.
Coordonate geografice Coordonate polare
Coordonatele geografice se exprimă in grade, minute si secunde sexagesimale de Latitudine si Longitudine.
Latitudinea (Lat.) este unghiul dintre orice punct şi ecuatorul. Liniile cu o latitudine constantă sunt numite paralele. Ele trasează cercuri pe suprafaţa Pământului, dar singura paralelă care este un cerc mare este ecuatorul (latitudine=0 grade), cu fiecare pol geografic aflat la 90 de grade (Polul Nord 90° N; Polul Sud 90° S). Paralelele sunt notate in raport cu ecuatorul de la 0o la 90o N si de la 0o la 90o S.
Longitudine (Long.) este unghiul spre est sau vest al unui punct arbitrar de pe Pământ: Observatorul din Greenwich (Marea Britanie) este considerat punctul internaţional cu longitudine 0 grade. Anti-meridianul Greenwich este atât 180°V cât şi 180°E. Liniile de longitudine constantă sunt numite meridiane. Meridianul care trece prin Greenwich este meridianul primar. Spre deosebire de paralele, toate meridianele sunt jumătăţi de cercuri complete şi nu sunt paralele: ele se intersectează la polul nord şi la cel sud.Meridianele sunt numerotate incepand de la primul (Greenwich) spre est de la 0o la 180o si spre vest de la 0o la -180o.
Combinând aceste două unghiuri, poate fi specificată poziţia orizontală a oricărui punct de pe Pământ.
Spre exemplu, Baltimore, Maryland (din SUA) are o latitudine de 39.3° Nord, şi o longitudine de 76.6° Vest. Deci, un vector desenat din centrul Pământului spre un punct dispus la 39.3° nord de ecuator şi 76.6° vest de Greenwich va trece prin Baltimore.
Gradele sunt împărţite în minute ( ′ ) şi secunde ( ″ ). Există mai multe formate pentru grade, toate fiind în ordinea Lat.-Long.:
GM Grade:Minute (49:30.0-123:30.0)
GMS Grade:Minute:Secunde (49:30:00-123:30:00)
GZ Grade Zecimale (49.5000-123.5000), de obicei cu 4 zecimale.
Pentru a face conversia de la primele 2 formate la ultimul, gradele zecimale sunt egale cu numărul întreg de grade, plus minutele împărţite la 60, plus secundele împărţite la 3600. La momentul actual gradele zecimale sunt formatul cel mai utilizat.
Ecuatorul este evident o parte importantă a sistemului de coordonate, reprezentând punctul zero al unghiului latitudine şi punctul aflat la jumătatea dintre poli. El este planul fundamental al sistemului geografic de coordonate.
Ecuatorul imparte pămantul in 2 emisfere: una nordică numită si boreală si o alta sudică numită australă.
Coordonate geografice şi geocentrice
Forma Pământului nu este perfect sferică; principala abatere de la sfericitate este dată de turtirea la poli. Pentru a lua în calcul aceasta, un model matematic mai corect pentru forma Pământului este acela al unui elipsoid de revoluţie.
Pentru un elipsoid însă, tangenta la suprafaţa sa nu coincide cu direcţia spre centrul de simetrie. Aceasta implică o problemă geografică în ceea ce priveşte determinarea latitudinilor, problemaă ce se răsfrânge asupra calculelor astronomice. Ea se datorează abaterii verticalei locului faţă de direcţia spre centrul Pământului. Calculul acestei abateri şi cuantificarea consecinţelor sale face subiectul următorului calcul.
În funcţie de scopul pe care îl urmărim în aplicaţii putem considera următoarele nivele de precizie în specificarea formei Pământului:
Suprafaţa fizică este suprafaţa reală a Pământului considerând chiar şi formele de relief.
Suprafaţa hidrostatică reprezintă suprafaţa de nivel "0" adică suprafaţa apei liniştite a oceanului planetar, prelungită sub continenete; aceasta se mai numeşte şi geoid.
Suprafaţa matematică este elipsoidul de revoluţie a cărui suprafaţă aproximează optimal suprafaţa geoidului; acesta se numeşte elipsoidul de referinţă.
În cele ce urmează ne vom referi doar la suprafaţa matematică. Elipsoidul de referinţa este un elipsoid de revoluţie, deci un elipsoid care are două semiaxe egale -- corespuzătoare planului ecuatorului terestru -- şi o a treia axă (mai mică) ce corespunde direcţiei polilor tereştri.
Mărimea celor două semiaxe egale se numeşte rază ecuatorială şi se va nota cu a iar mărimea celei de a treia axe se numeşte rază polară şi se va nota cu b. Excentricitatea elipsoidului este dată de:


iar turtirea sa este:
Datele exacte rezultate în urma unor măsurători minuţioase sunt:

Să considerăm un punct O oarecare, situat pe suprafaţa elipsoidului. Secţiunea planului meridian corespunzător punctului O prin elipsoidul de referinţă va fi o elipsă de semiaxe a şi b. Coordonatele punctului O vor satisface, evident, ecuaţia elipsei:


Să considerăm acum raza corespunzătoare punctului O şi normală la suprafaţa elipsoidului în punctul O.
În funcţie de dreapta la care raportăm calculul latitudinii vom avea următoarele sisteme de coordonate:
Coordonate geografice . Latitudinea geografică a fost definită ca fiind mărimea unghiului format de verticala locului cu planul ecuatorului terestru.
Coordonate geodezice . Latitudinea geodezică se defineşte ca mărime a unghiului format de normala la suprafaţa elipsoidului de referinţă cu planul ecuatorului.
Coordonate geocentrice . Latitudinea geocentrică reprezintă mărimea unghiului format de raza geocentrică (TO) corespunzătoarele punctului considerat cu planul ecuatorului.
Longitudinea este definită la fel în cazul celor trei sisteme de coordonate, şi anume ca mărime a unghiului format de planul meridianului locului cu planul meridianului de referinţă (Greenwich). În cele ce urmează distanţa dintre centrul Pământului şi punctul O (mărimea segmentului TO) se va numi rază geocentrică a punctului considerat.
Dacă în cazul modelului Pământului sferic cele trei drepte considerate mai sus (verticala locului, normala la suprafaţă şi raza geocentrică) coincideau, în cazul elipsoidului, ele for fi în general diferite.
În ceea ce priveşte verticala locului ea a fost definită ca fiind direcţia firului cu plumb, adică direcţia forţei gravitaţionale rezultante exercitate de către Pământ asupra observatorului.
Definiţia acestei direcţii este deci de natură fizică. Pentru calculul acesteia trebuie să considerăm structura de densitate a Pământului şi să integrăm pe volumul acestuia funcţia vectorială a forţei de atracţie gravitaţională elementară. Nu ne propunem aici acest lucru. Pentru calculele noastre vom folosi faptul demonstrat riguros că direcţia verticalei locului este foarte apropiată de direcţia normalei la suprafata elipsoidului, mai precis:

pentru fiecare punct de pe suprafaţa elipsoidului.
Putem deci considera:

În continuare vom identifica verticala locului cu normala la elipsoid şi deci latitudinea geografică cu cea geodezică.
Problema pe care o avem de rezolvat acum este următoarea: cunoscând latitudinea geografică (geodezică) a punctului O, ne propunem să determinăm latitudinea sa geocentrică, precum şi raza geocentrică a punctului O.
Considerăm în planul meridianului punctului O un sistem rectangular de coordonate Txy, T fiind centrul de simetrie al elipsoidului ("centrul Pământului"), iar axa Ty va trece prin polul nord terestru. Elipsa corespunzătoare elipsoidului terestru în secţiunea planului meridian este orientată canonic faţă de sistemul Txy, adică semiaxa mare (a) este pe direcţia axei Tx, iar semiaxa mică (b) este pe direcţia Ty. Punctul T are în sistemul Txy, coordonatele x şi respectiv y.
Conform geometriei figurii, avem tangenta latitudinii geocentrice:


Să considerăm acum planul tangent la elipsoid în punctul O. În secţiunea planului meridian acesta este reprezentat de tangenta la elipsă în punctul O. Panta tangentei la o curbă este dată derivata funcţiei corespunzătoare:
unde y(x) este formularea (local) explicită a ecuaţiei elipsei.
Tangenta latitudinii geografice este panta normalei la elipsă; cum normala şi tangenta în O sunt perpendiculare, avem:
de unde rezultă:
unde a fost folosită formula de derivare a funcţiei inverse x(y). Pentru a calcula derivata din ecuaţia (2) vom diferenţia ecuaţia elipsei (1):

deci:
adică:


Relaţia (3) rezolvă prima parte a problemei noastre, şi anume calculul latitudinii geocentrice a unui punct pentru care se cunoaşte latitudinea geografică. Pentru determinarea razei geocentrice vom înlocui y=tgφ^' x în ecuaţia (1) a elipsei și obținem: x^2/a^2 +(x^2 〖tg〗^2 φ')/b^2 =1
Folosind (3) şi având în vedere că:
obţinem:


de unde
Cum


obţinem din (4) şi (5) că:


Lungimea arcului de meridian.
În continuare ne propunem să determinăm distanţa măsurată pe suprafaţa Pământului între două puncte aflate pe acelaşi meridian al elipsoidului de referinţă, presupunând cunoscute latitudinile geografice ale punctelor considerate.
În cazul modelului sferic al Pământului, soluţia acestei probleme era simplă:

În cazul elipsei însă, lungimea arcului de meridian trebuie calculată folosind integrala curbilinie:


Cum pentru punctele date sunt cunoscute latitudinile geografice, pentru exprimarea integralei curbilinii de mai sus vom folosi exprimarea parametrică a ecuaţiilor elipsei (4) şi (5) în funcţie de latitudinea geografică:




Derivând ecuaţia (4) obţinem:


iar prin derivarea ecuaţiei (5) se obţine:


de unde


Această integrală nu poate fi evaluată exact, ea putându-se exprima prin integrale eliptice sau, în aplicaţii concrete se poate calcula aproximativ prin cuadraturi.

BIBLIOGRAFIE
***, Topografie şi cadastrul agricol, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1999.
Niţu, Constantin, Cartografie matematică, Bucureşti, Editura Academiei Tehnice Militare, 1995.
***, Topografie militară, Sibiu, Editura Academiei Forţelor Terestre, 1998.
***, Cartografie matematică, Universitatea de Construcţii, Bucureşti, Editura Pedagogică, 2000.
Boş N., Iacobescu O. (2007), Topografie modernă, Edit. C.H. Beck, Bucureşti.
Eleş G. (2001), Topografie cu elemente de cadastru, Edit. Mirton, Timişoara.
Grama I., Ionescu P., Rădulescu M. (1964), Topografie şi desentehnic, Edit Didactică şi Pedagogică, Bucureşti.
Năstase A. (1983), Cartografie - Topografie, Edit. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti.
Năstase A. (1993), Topografie cu elemente de cartografie generală, Edit. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti.
Zapotinschi, Radu, Curs de astronomie, UBB, Cluj Napoca.
ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_geografice